Radon 变换与正弦图

把二维物体映射到投影空间

Radon 变换、正弦图轨迹、对称性与投影空间解释。

1 Radon 变换

利用 平行束扫描几何 中的射线参数，二维函数 \(f(x,y)\) 的 Radon 变换定义为

\[ p_\theta(s) =\mathcal{R}f(\theta,s) =\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left( s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta+t\cos\theta \right)\,\mathrm{d}t. \tag{1}\]

也可以使用 Dirac \(\delta\) 函数写成

\[ \mathcal{R}f(\theta,s) =\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\, \delta\!\left(s-x\cos\theta-y\sin\theta\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. \tag{2}\]

式 2 清楚地表达了“对满足直线约束的所有像素积分”。

2 点目标为什么形成正弦曲线

设物体中只有一个位于 \((x_0,y_0)\) 的单位点，则其投影位置满足

\[ s(\theta)=x_0\cos\theta+y_0\sin\theta. \tag{3}\]

将点写成极坐标 \(x_0=r\cos\varphi\)、\(y_0=r\sin\varphi\)，可得

\[ s(\theta)=r\cos(\theta-\varphi). \tag{4}\]

因此，一个离旋转中心越远的点，在正弦图中的振幅越大；物体中所有点的轨迹叠加后形成完整正弦图。

提示直观理解

正弦图的横轴通常是投影角 \(\theta\)，纵轴是探测器位置 \(s\)，像素强度是该射线的衰减积分。它不是物体的照片，而是物体在“直线空间”中的表示。

3 Radon 变换的基本性质

线性性：

\[ \mathcal{R}(a f+b g) =a\mathcal{R}f+b\mathcal{R}g. \tag{5}\]

角度冗余：

\[ \mathcal{R}f(\theta+\pi,s) =\mathcal{R}f(\theta,-s). \tag{6}\]

平移会使正弦图发生角度相关位移。若 \(g(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\)，则

\[ \mathcal{R}g(\theta,s) =\mathcal{R}f\left(\theta,s-\boldsymbol{x}_0\cdot\boldsymbol{n}_\theta\right). \tag{7}\]

4 从投影到重构

Radon 变换解决正问题：已知 \(f\) 求 \(p_\theta\)。CT 重构解决逆问题：已知有限、离散且含噪的 \(p_\theta\)，估计 \(f\)。下一节先考察简单反投影，再通过傅里叶切片定理得到 滤波反投影。