成像物理基础

从光子计数到投影线积分

Beer-Lambert 定律、线性衰减系数和投影数据预处理。

1 学习目标

完成本节后，读者应能解释：

1. 为什么 CT 原始强度需要进行负对数变换；
2. 线性衰减系数 \(\mu(\boldsymbol{x},E)\) 的物理意义；
3. 单能模型与多能谱模型之间的差别；
4. 暗场、平场和散射误差如何进入投影数据。

2 单色 X 射线衰减

定义 1 (线性衰减系数) \(\mu(\boldsymbol{x})\) 表示单位路径长度上的相对强度损失，其量纲通常为 \(\mathrm{mm}^{-1}\) 或 \(\mathrm{cm}^{-1}\)。

对于沿射线 \(L\) 传播的单能 X 射线，Beer–Lambert 定律写为

\[ I = I_0\exp\left[-\int_L \mu(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\ell\right]. \tag{1}\]

对 式 1 两侧取负对数，得到

\[ p_L =-\ln\frac{I}{I_0} =\int_L \mu(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\ell. \tag{2}\]

式 2 是解析 CT 重构的关键：经过负对数变换后，测得的强度比被转化为衰减系数的线积分。

重要模型条件

式 2 假设单能谱、无散射、探测器线性且 \(I_0\) 已知。真实工业 CT 往往不完全满足这些条件，因此预处理和物理校正与重构算法同等重要。

3 探测器校正

设暗场图像为 \(D\)，平场图像为 \(F\)，样品图像为 \(R\)，常用归一化为

\[ T = \frac{R-D}{F-D}, \qquad p=-\ln T. \tag{3}\]

当 \(R-D\le 0\) 或像素饱和时，直接使用 式 3 会产生无穷值或异常条纹。工程实现中应在对数前完成坏点修复、阈值截断和有效性标记。

4 多能谱模型

真实 X 射线源具有能谱 \(S(E)\)，探测器也具有能量响应 \(\eta(E)\)。测量强度更接近

\[ I =\int S(E)\eta(E) \exp\left[-\int_L\mu(\boldsymbol{x},E)\,\mathrm{d}\ell\right] \mathrm{d}E. \tag{4}\]

由于能量积分位于指数函数之外，对 \(I/I_0\) 取对数后通常不再等价于某个固定 \(\mu\) 的线积分。这是束硬化伪影产生的根本原因之一。

5 从物理到数学模型

在后续平行束章节中，我们首先采用理想单能模型，把 \(f(x,y)\) 视为二维衰减系数分布，并把 式 2 记为投影 \(p_\theta(s)\)。完成解析推导后，再在 采样、噪声与伪影 中逐步放松这些条件。

注记本节小结

CT 并不是直接重构探测器强度，而是重构经过校正和负对数变换后的射线积分数据。物理模型决定了投影数据是否符合 Radon 变换假设。