平行束扫描几何
用两个坐标描述每一条投影射线
1 坐标定义
令二维物体的衰减系数分布为 \(f(x,y)\)。对投影角 \(\theta\)，定义单位法向量与射线方向向量
\[ \boldsymbol{n}_\theta= \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{t}_\theta= \begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix}. \tag{1}\]
其中，\(s\) 表示射线到原点的有符号垂直距离，\(t\) 表示沿射线方向的位置。任意射线点可写为
\[ \boldsymbol{x}(s,t;\theta) =s\boldsymbol{n}_\theta+t\boldsymbol{t}_\theta. \tag{2}\]
展开 式 2 得
\[ x=s\cos\theta-t\sin\theta, \qquad y=s\sin\theta+t\cos\theta. \tag{3}\]
2 射线的隐式方程
由于 \(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}_\theta=s\)，同一条射线上的所有点满足
\[ x\cos\theta+y\sin\theta=s. \tag{4}\]
这一定义非常重要：\(\theta\) 描述射线法线方向，而不是射线自身的传播方向。
不同教材可能把 \(\theta\) 定义为射线方向角，也可能定义为法向角。两种约定都可以使用，但公式中的正负号和 \(90^\circ\) 偏移必须保持一致。
3 投影覆盖范围
对于理想二维平行束 CT，\(\theta\in[0,\pi)\) 已包含全部独立直线，因为
\[ p_{\theta+\pi}(s)=p_\theta(-s). \tag{5}\]
式 5 表明 \(180^\circ\) 后的投影与已有投影重复，只是探测器坐标方向相反。
4 离散采样
设探测器间距为 \(\Delta s\)，角度步长为 \(\Delta\theta\)，离散坐标可写为
\[ s_m=(m-m_0)\Delta s, \qquad \theta_k=k\Delta\theta. \tag{6}\]
这些采样参数决定正弦图的尺寸，也决定能够恢复的空间分辨率和角向混叠程度。相关条件将在 采样、噪声与伪影 中展开。
习题 1 (几何练习) 证明 \(\boldsymbol{n}_\theta\) 与 \(\boldsymbol{t}_\theta\) 正交，并验证坐标变换 式 3 的雅可比行列式绝对值为 1。