X 射线成像与 CT 重构
从成像物理、投影数据到可复现的重构算法
面向研究生和工程研究者的 X 射线成像与计算机断层成像教学笔记。
这套课程从最简单的二维平行束模型出发，把几何、物理、数学与代码放在同一条推导链上。公式不是结论陈列，而是用来解释正弦图如何形成、反投影为何模糊，以及滤波为什么能够恢复空间频率。
1 学习路径
1.1 01 · 成像物理
从 Beer–Lambert 定律出发，建立强度、衰减系数和线积分之间的关系。
1.2 02 · 扫描几何
定义平行束坐标系、探测器坐标、旋转角和射线路径。
1.3 03 · Radon 变换
理解投影、正弦图、角度冗余以及二维物体到投影空间的映射。
1.4 04 · 滤波反投影
从傅里叶切片定理推导 Ramp 滤波器和 FBP 重构公式。
1.5 05 · 数值实验
使用 Python 生成 Phantom、正弦图、反投影和滤波重构结果。
1.6 06 · 伪影分析
比较欠采样、有限角、噪声、探测器截断和模型误差的影响。
1.7 Special Topic · Propagation Phase Contrast
从复折射率、TIE 和 PAD 假设出发，推导单距离相位恢复及其傅里叶域实现。
2 阅读约定
- 向量使用粗体，例如 \(\boldsymbol{x}=(x,y)^\mathsf{T}\)。
- 连续物体记为 \(f(x,y)\)，投影记为 \(p_\theta(s)\)。
- 每个核心公式都具有编号，可以跨章节引用。
- 推导后给出物理解释，再给出可运行的数值实验。
- “注意”说明模型条件，“实践”说明实现细节，“思考”用于练习。
3 当前内容状态
| 模块 | 状态 | 主要输出 |
|---|---|---|
| 平行束 CT | 已搭建 | 完整推导框架、核心公式、Python 示例 |
| 扇束 CT | 规划中 | 加权、重排与扇束 FBP |
| 锥束 CT | 规划中 | FDK 几何与近似条件 |
| 迭代重构 | 规划中 | ART、SART、正则化模型 |
| 深度学习重构 | 规划中 | 数据一致性与学习型先验 |