练习与推导

把公式转化为可以验证的理解

平行束 CT 的概念题、推导题和编程练习。

1 概念题

习题 1 (负对数变换) 从 Beer–Lambert 定律推导 负对数投影公式，并说明为什么暗场和平场误差会在厚物体区域被放大。

习题 2 (角度约定) 若教材把 \(\theta\) 定义为射线方向角而不是法向角，请重新写出 直线隐式方程与参数方程。

习题 3 (点目标的正弦轨迹) 从 \(s=x_0\cos\theta+y_0\sin\theta\) 推导 点目标的极坐标正弦轨迹，并说明如何从正弦图振幅估计点到旋转中心的距离。

2 推导题

习题 4 (傅里叶切片定理) 把 Radon 变换参数式 代入 投影的一维傅里叶变换，通过坐标变换证明傅里叶切片定理。

习题 5 (Ramp 滤波器来源) 从二维逆傅里叶变换的直角坐标积分出发，转换到 \((\omega,\theta)\) 极坐标，解释为什么 雅可比因子 为 \(|\omega|\)。

3 编程题

1. 仅使用 NumPy 实现一维 Ramp 滤波，不调用 iradon。
2. 分别使用 30、60、180 和 360 个投影角重构同一 Phantom，绘制误差随角度数量的变化。
3. 给正弦图加入 Poisson 噪声，比较 Ramp、Hann 和 Shepp–Logan 滤波器。
4. 人为删除 \(60^\circ\) 的投影区间，观察有限角伪影的方向性。
5. 给正弦图添加固定列偏差，验证环状伪影的形成。

提示后续设计

后续版本可为每道题加入折叠答案、自动评分 Notebook 和可调参数的交互式图形。